第 26 章 · 复利与时间

这一章的标题是一个问题，而这个问题有一个确切的答案：取决于你问的是第几年。

同一组假设、同样四个输入，在第 10 年和第 30 年，「哪一个最能改变结果」的排序是两套。更麻烦的是，排序还取决于你怎么定义「变化一点」，以及你手上现在有多少本金。下面会给出三个不同的「反超年份」——第 22 年、第 26 年、第 28 年——它们全部正确，只是基准不同。

所以这一章不打算给你一句「X 比 Y 重要」。它要给的是一张你自己能重算的敏感性表，以及一组知道自己什么时候失效的工具。

钱从哪来、怎么让它每个月真的到账，是第 25 章（第一桶资本）的事。这一章假定钱已经在往里走，只问往里走的那笔钱怎么被四个输入放大或者吃掉。

机制

长期积累只有四个输入：你手上已经有的、你每期放进去的、它被放了多少年、每年按什么比率变化。输出只有一个：某一年年末的余额。project 这个口径就是这四个输入到那一个输出的全部内容，没有第五个。

四个输入，一个输出，一张会变的排序

把四个输入各自提高 10%，看期末余额各自多多少，这就是敏感性。它不是一个固定排序。

基准组（起始本金 120,000、月投 4,000、名义年化回报假设 6%、年化费用率 0.5%、通胀假设 2.5%）：

月投和回报假设在中间换了位置。它们在第 22 年互换：第 21 年月投还多（186,098 对 182,904），第 22 年回报假设反超（207,458 对 201,221）。

这个「第 22 年」不是一个常数。它随基准移动：

• 把起始本金从 120,000 改成 0、其余四项不动，反超推到第 28 年（第 27 年 290,190 对 289,102，还是月投；第 28 年 324,122 对 311,008，回报赢）。
• 第 20 章用的是另一种「变化一格」：储蓄率 +10 个百分点对回报假设 +3 个百分点，在那组定义下反超发生在第 26 年。

三个数字——22、26、28——都是对的。差别全在基准本金和「一格」怎么定义。所以「时间、投入和回报哪个更重要」这个问题，必须带着年限、基准和步长一起问，否则它没有答案。

年限那一列为什么总是第一，以及它为什么不能买

上表里年限一直排第一，但它不是一个干净的对照：年限 +10% 的同时你也多投了钱。拆开看：

• 10 → 11 年：多出 95,355，其中多投的本金 48,000，剩下 47,355 来自多复利的那一年。
• 30 → 33 年：多出 876,373，其中多投的本金 144,000，剩下 732,373 来自多复利的那三年。

第二项才是时间本身的贡献，而它在 30 年那一行是多投本金的 5.1 倍。

问题在于，这一列是四列里唯一不能用钱买的。 另外三个输入都可以在今天调整：多存一点、把起始那笔凑高一点、甚至换一个回报假设（虽然换的只是假设，不是回报）。少掉的年份没有任何输入能换回来——下面「算一遍」第四步会算出晚开始五年需要多高的回报才追平，答案是 8.36%，而那个数字你没法核对。

72 法则：它给量级，不给计划

ruleOf72(0.06) 返回 12，意思是在 6% 这个假设下，一笔钱大约 12 年翻一倍。精确解是 ln2 ÷ ln1.06 = 11.896 年，按 12 年算得到 2.0122 倍。这个精度对建立量级感够用了。

它在四个地方会骗你，而且这四个地方同时存在：

1. 它假设回报恒定。 真实的年回报不是一条直线，而 72 法则里没有放波动的位置。
2. 它忽略费用。 400,000 元在 6% 假设下，不收费时第 12 年是 804,879（翻倍年份 12），年费率 0.6% 时第 12 年只有 748,951，真正翻倍要到第 14 年。
3. 它忽略通胀。 同一笔钱按 2.5% 通胀看购买力，第 12 年只有 556,887（1.39 倍），购买力翻倍要到第 26 年。
4. 它忽略投入。 它算的是一笔不动的钱。你每个月还在往里放钱，那条曲线和 72 法则描述的根本不是同一条。

所以同一个问题「这笔钱什么时候翻倍」有三个都正确的答案：12 年（法则）、14 年（扣费后）、26 年（按购买力）。 区别不在算得准不准，在问的是哪一个。

还有一个更硬的边界：ruleOf72 在回报为零或为负时返回 null，不返回数字。 ruleOf72(0)、ruleOf72(-0.04)、ruleOf72(-0.15) 全部是 null。这不是没实现，是那时候「翻倍年数」这个问题本身不成立。任何在负回报下也给你一个翻倍年数的工具，都在替你编一个数。

现实案例

三个人，三种不同的错误用法：把少掉的年份当成可以用回报补的东西、把 72 法则当成时间表、把名义金额当成购买力。

算一遍

四样东西：先用交互模拟器做三个实验（其中一个把回报拖成负数），再手算四个输入的敏感性表（两个年限各算一次，看排序换位），然后把名义与实际放在一起算一次（并算出减法近似差多少），最后用 yearsToTarget 看一眼「达不到」长什么样。

第一步：三个实验，其中一个必须向下

算一算：早期的钱是你投的，还是涨出来的口径 3.0.0 · 模型 0.1.0

月税后收入28,000 元

储蓄率20%

收入年增长3.0%

名义年化回报假设（可以为负）5.0%

年化费用率0.5%

年限20 年

期末余额（名义）

2,772,136 元

其中本金贡献

1,805,689 元

你自己投进去的钱

其中回报贡献

966,447 元

由回报假设产生的部分

累计费用

110,600 元

费用一直在反方向复利

第几年	余额（名义）	本金贡献	回报贡献	回报占余额
1	68,818 元	67,200 元	1,618 元	2.4%
3	222,183 元	207,708 元	14,474 元	6.5%
5	398,540 元	356,774 元	41,766 元	10.5%
10	958,105 元	770,373 元	187,733 元	19.6%
15	1,728,219 元	1,249,847 元	478,372 元	27.7%
20	2,772,136 元	1,805,689 元	966,447 元	34.9%

回报累计超过投入的那一年

在 20 年里没有发生

在这一年之前，你的余额主要来自自己的收入

期末实际购买力

1,865,568 元

按 2% 通胀折回今天的钱，不要和名义值混用

储蓄率敏感性

• 储蓄率 15.0% → 期末 2,079,102 元
• 储蓄率 20.0% → 期末 2,772,136 元
• 储蓄率 25.0% → 期末 3,465,171 元

前几年余额几乎等于你投进去的钱。能更快改变结果的是收入与储蓄率，不是再调高回报假设。

读这张表的时候盯两列：本金贡献是事实，回报占余额是假设的产物。两列的比例决定了这一年该把力气花在哪一边，而且它每年都在变。

第二步：四个输入各 +10%，两个年限各算一次

基准组：起始本金 120,000、月投 4,000（不增长）、名义年化回报假设 6%、年化费用率 0.5%、通胀假设 2.5%。

先看基准自己：

三十年累计费用 244,170。注意最后一列：同一个 0.5% 的费率，第 1 年收 751、第 30 年收 20,174，是 27 倍——它按余额收，所以它和余额一起长。

现在四个输入各自单独 +10%，同一张表算两次：

四件事从这两张表上直接读出来。

第一，排序换了位。 月投和回报假设在 10 年那张表上是 2 和 3，在 30 年那张表上是 3 和 2。逐年算一遍，互换发生在第 22 年：第 21 年月投还多（186,098 对 182,904），第 22 年回报假设反超（207,458 对 201,221）。

第二，这个反超年份本身也不是常数。 把起始本金从 120,000 改成 0、其余四项不动，反超推到第 28 年（第 27 年 290,190 对 289,102，还是月投；第 28 年 324,122 对 311,008）。再对照第 20 章用另一种步长得到的第 26 年。22、26、28 三个数都是对的——所以「敏感性排序」必须和基准、步长、年限一起说，单独说出来没有意义。

第三，年限那一列排第一，但它不是一个干净的对照。 年限 +10% 的同时也多投了钱。拆开：10 → 11 年多出的 95,355 里，多投本金 48,000，剩下 47,355 来自那一年的复利；30 → 33 年多出的 876,373 里，多投本金 144,000，剩下 732,373 来自那三年的复利——是多投本金的 5.1 倍。第二项才是时间本身的贡献。

第四，起始本金那一列一直排最后，而且越往后越小。 相对贡献从 10 年的 2.43% 掉到 30 年的 1.43%。这不是说起始那笔钱不重要，是说在一个持续投入的账户里，它被后面的投入和回报一起稀释了。所以「先攒够一大笔再开始」这个顺序在这张表上找不到支持。

第三步：名义与实际，以及减法在哪里失效

同一组基准假设跑 30 年，同一行里有两个数：

折算因子就是 1.025³⁰ = 2.0976。三十年 2.5% 的通胀假设，把购买力折掉了一半多。这不是费用——同一组假设下的累计费用是 244,170，只有差额的 11%。

然后看「实际回报 ≈ 名义 − 通胀」这个近似。

• 减法：6% − 2.5% = 3.5%
• 精确：(1 + 0.06) ÷ (1 + 0.025) − 1 = 3.4146%
• 差 0.0854 个百分点

拿这两个比率各跑 30 年（通胀设 0，所以跑出来的就是实际口径）：按 3.5% 得 2,604,128，按 3.4146% 得 2,564,449，差 39,679——占 1.5%。在 2.5% 的通胀下，减法够用。

它在高通胀时不够用。 同样的 6% 名义回报，换几个通胀假设：

最后一列有个规律：减法的相对误差正好等于通胀率本身。 通胀 2% 时减法偏 2%，通胀 20% 时偏 20%。所以判断标准很简单：通胀假设在 3% 以下，减法够用；上到两位数，必须用除法。

还有一个更容易错的地方：这两条路算的不是同一个东西。 基准组的实际终值是 1,980,596，而「按 3.4146% 实际回报跑 30 年」给的是 2,564,449，差 583,853。两边都没算错——区别在月投那 4,000 元：

• project 里它是一个固定的名义金额，三十年一直是 4,000，它自己在贬值。
• 「按实际回报跑」隐含假设它是一个固定的实际金额，也就是每年跟着通胀涨。

验证一下：把投入增长率设成 2.5%、回报仍 6%、通胀仍 2.5%，实际终值 2,538,961，和 2,564,449 只差 25,488（1%）。

所以用实际回报做长期计算时，必须同时假定投入也跟着通胀走。 只换回报不换投入，等于偷偷给自己加了三十年的加薪。

第四步：yearsToTarget 的数字，以及它返回 null 的时候

同一组基准假设，换几个目标金额：

注意这几个间隔：第一个一百万要 12 年，第二个一百万只要 8 年（12 → 20），第三个要 6 年（20 → 26）。间隔在缩短——这就是回报占比从 28.5% 爬到 62.4% 在时间轴上的样子。

把回报假设换成 −2%，其余四项不动：

• yearsToTarget(…, 2000000) 返回 null
• 第 20 年余额 825,748（累计投入 1,080,000）
• 第 40 年余额 1,252,064（累计投入 2,040,000）
• 第 100 年余额 1,759,115（累计投入 4,920,000）

null 的意思不是「算不出来」，是在给定的年限上限内这个目标达不到。原因可以直接看出来：每年投进去 48,000，而余额每年被 −2% 的回报和 0.5% 的费用一起拿走一部分；拿走的量随余额变大，所以余额会趋向一个上限，而那个上限低于 2,000,000。把目标改成 1,500,000，它返回 60 年——同一条曲线，目标低一点就有答案了。

yearsToTarget 的默认上限是 100 年。所以 null 永远要读成「在这个上限内、按这组假设达不到」，而不是「永远达不到」，也不是「这组假设是错的」。

最后一个对照，关于费率： 把回报假设换成 0%、费率保持 0.5%，名义 2,000,000 要 45 年；费率改成 0，同样的目标 40 年。单是那 0.5%，在一条不涨的曲线上值 5 年。

你的行动

检查标准

容易搞错的地方

把敏感性排序当成一条固定结论。 以为「时间最重要、回报第二、投入第三」这种顺序是常数。实际上月投和回报假设在基准组的第 22 年互换，起始本金改成 0 之后互换推到第 28 年，而第 20 章用另一种步长得到的是第 26 年。后果是在一个 10 年的计划上按 30 年的排序做决定——10 年那张表上月投多出 63,533，回报假设只多出 31,927，差了一倍。

用更高的回报假设去补少掉的年份。 以为晚开始几年可以靠「积极一点」追回来。实际上可以，但需要的那个数字无法核对：夏晚开始五年，25 年要追平 30 年 @6% 需要 8.36%。后果是她把一个不可验收的假设写成了计划的核心，而同一行里那个可以核对的方案——月投从 4,000 提到 5,659——被跳过了。少掉的那五年不是钱：差额 1,043,857 是她少投本金 240,000 的 4.35 倍。

把 72 法则当成一张时间表。 以为 ruleOf72(0.06) = 12 意味着第 12 年账上会有两倍的钱。实际上它假设回报恒定、不扣费、不折通胀、不算投入。后果是鲍那笔 400,000：72 法则说第 12 年 800,000，扣掉 0.6% 年费之后第 12 年只有 748,951（真正翻倍要到第 14 年），按购买力看第 12 年只有 556,887（购买力翻倍要到第 26 年）。而第 6 年一次 −15% 把翻倍从第 14 年推到第 18 年，ruleOf72(-0.15) 对那一年返回 null。

把名义金额当成购买力。 以为「20 年攒到 200 万」里的 200 万就是今天的 200 万。实际上同一行有两个数：葛第 20 年名义 2,065,823、实际购买力 1,260,712。后果是他的目标实际上要到第 31 年才达成，差 11 年；要在第 20 年拿到今天的 200 万，名义需要 3,277,233。

用「实际回报 = 名义 − 通胀」却忘了投入也在贬值。 以为把 6% 换成 3.41% 跑一遍就得到实际口径。实际上那样算隐含假定你的月投每年跟着通胀涨：基准组的实际终值是 1,980,596，而按 3.4146% 跑 30 年给的是 2,564,449，差 583,853。把投入增长率设成 2.5% 之后，实际终值回到 2,538,961，和 2,564,449 只差 1%。后果是给自己偷偷加了三十年的加薪。

以为减法在所有通胀假设下都够用。 以为「名义 − 通胀」只是个小近似。实际上它的相对误差正好等于通胀率本身：2% 通胀时偏 2%，20% 通胀时偏 20%——6% 名义回报在 20% 通胀下，减法给 −14.00%，除法给 −11.67%，差 2.33 个百分点。后果是在高通胀的情景里把实际回报算得比真实情况更糟，然后据此改掉一个本来没问题的计划。

把 yearsToTarget 返回的 null 读成「算错了」。 以为返回 null 是输入有问题。实际上它的意思是在给定年限上限内这个目标达不到：回报假设 −2%、月投 4,000、费率 0.5%，目标 2,000,000 返回 null，因为余额趋向一个低于 200 万的上限（第 100 年 1,759,115，而累计投入 4,920,000）。后果是去调输入直到它返回一个数字——那不是算出了答案，那是把假设改到了自己想看的样子。目标改成 1,500,000，同一条曲线返回 60 年。

只盯回报假设，不看那个确定会扣的费率。 以为回报假设才是大头。实际上回报是假设，费率是合同里写着的事实：回报假设 0%、费率 0.5% 时名义 200 万要 45 年，费率为 0 时 40 年——那 0.5% 值 5 年。后果是花几个周末调一个无法核对的数，而一个查得到、改得动的数一直没动过。费用怎么在三十年里吃掉比它本身更多的钱，第 20 章第三步已经算完了。

本章自测

不要回头翻，先自己答一遍。

1. 长期积累的四个输入是哪四个？其中哪三个能核对、哪一个不能，为什么这个区分比排序更重要？
2. 基准组第 1 年回报占余额 4.5%、第 30 年 62.4%。这个占比为什么前期一定低？它和回报假设高低有关系吗？
3. 四个输入各 +10%，10 年那张表和 30 年那张表的排序差在哪里？互换发生在第几年？
4. 为什么同一个「反超年份」有 22、26、28 三个都正确的答案？三者分别改变了什么？
5. 「年限 +10%」那一列为什么不是一个干净的对照？30 → 33 年多出的 876,373 里，有多少来自多投的本金、多少来自多复利的时间？
6. ruleOf72(0.06) 返回什么？同一笔 400,000 元在 6% 假设下「什么时候翻倍」有三个答案，分别是多少年、各自对应什么口径？
7. ruleOf72 在回报为零或为负时返回什么？为什么不返回一个数字？
8. 夏晚开始五年，25 年要追平 30 年 @6% 需要多少回报假设？同一件事换成调月投是多少？这两个方案在算式上和在可核对性上分别是什么关系？
9. 基准组第 30 年名义 4,154,435、实际 1,980,596，差额占名义多少？这个差额是费用造成的吗？
10. 「实际回报 ≈ 名义 − 通胀」在什么时候失效？它的相对误差有什么规律？用实际回报跑长期计算时，必须同时改哪一个输入？
11. yearsToTarget 返回 null 是什么意思？什么情况下会出现，正确的读法是什么？

第 3、4 题答不上来，回到「算一遍」第二步把那两张表各看一遍。第 6、7 题答不上来，回到「机制」里 72 法则那一节。第 10 题答不上来，回到第三步最后那三段。十一题全答得上来但 Compounding Lab 还是空的——这一章唯一的成果就是那张表，它才是全部。

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这一章对应的 Knowledge Object。注意「例子」那一栏里的 22、26、28 三个反超年份是同时成立的——它们的差别全在基准与步长：